Das Black-Scholes-Modell ist eines der wichtigsten finanzwirtschaftlichen Modelle, das auch von der schwedischen Reichsbank für Wirtschaftswissenschaften in den 90er Jahren als eines der wichtigsten finanzwirtschaftlichen Modelle ausgezeichnet wurde. Das Modell dient zur Herleitung und Bewertung des Preises für Optionen und Optionsscheine. Berücksichtigt werden dabei allerdings nur europäische Optionen.
Grundlegendes Modell
Im Grunde geht das Black-Scholes-Modell von der Annahme aus, dass die Logarithmen der Basiswerte bei einer Option einer bestimmten geometrischen Reihe, der sogenannten Brownschen Bewegung, folgen. Damit würden die Basiswerte in logarithmischer Form – abhängig von bestimmten Kriterien – einem Modell folgen, das auch in vielen Naturprozessen gilt. Diese Annahme kann als durch Erfahrung bestätigt angesehen werden. Das Bläck-Scholes-Modell ergibt dabei eine Differenzialgleichung – explizite Lösungen dieser Gleichungen sind die jeweils entsprechenden Werte von Call- und Put-Optionen.
Vereinfachende Annahmen
In seiner vereinfachten Form bedient sich das Black-Scholes-Modell einiger theoretischer Voraussetzungen:
- es wird von einem vollkommenen Kapitalmarkt ohne Einschränkungen ausgegangen
- es herrscht als Modellannahme Freiheit bei den Transaktionskosten und keine Arbitrage
- die Kursveränderungen werden als Zufallsgrößen angenommen, die aber den Gesetzen der Normalverteilung gehorchen
- es wird von einer konstanten Volatilität ausgegangen
- der Zinssatz, zu dem Geld geliehen oder angelegt werden kann, wird im Modell (der Einfachheit halber) als konstant aufgefasst
Diese Annahmen der vereinfachten Form sind natürlich kein Spiegel der Realität. Um weitere Faktoren miteinzubeziehen und abzubilden gibt es deshalb auf dem Basismodell aufbauende Erweiterungen, die die Gleichung dann aber bereits erheblich verkomplizieren können.
Bestimmende Werte für den Preis einer Option oder eines Optionsscheins
Wenn man sich das Black-Scholes-Modell genau ansieht, erkennt man, dass der Preis einer Option im Wesentlichen von folgenden Faktoren bestimmt wird:
- vom aktuellen Aktienkurs
- von der zukünftigen (zu erwartenden) Volatilität des Basiswerts
- von der Restlaufzeit der Option
- vom Basispreis, wie er im Vertrag festgelegt ist
- vom Zinssatz
Die zukünftige Volatilität kann man natürlich nicht im Vorhinein vorhersagen – genau das macht sie zum wichtigsten Kriterium für die Bestimmung und Bewertung eines Optionspreises als “fairen Preis” der Option. Im Grunde geht es bei der Preisfindung in der Praxis vor allem um die Volatilität, da alle anderen Werte ja im Vorhinein bereits festgelegt sind.
Wie sich die Volatilität eines Basiswerts auf den Preis einer Option auswirkt, wird auch durch das sogenannte Vega ausgedrückt. Es beschreibt, in welchem Maße sich eine Volatilitätsänderung überhaupt auf den Preis einer Option oder eines Optionsscheins niederschlägt.
Ableitungen nach der Black-Scholes-Gleichung
Einzelne, spezifische Modellparameter und ihr Berechnungsweg können leicht aus dem Gesamtmodell abgeleitet werden. Diese Ableitungen tragen auch eine spezielle Bezeichnung in der Fachsprache, nämlich “Griechen” (englisch “greeks”). Die Bezeichnung rührt daher, dass es sich bei den Bezeichnungen für die einzelnen Ableitungen allesamt mit griechischen Buchstaben bezeichnet werden: das Delta, das Gamma, das Theta, das Rho und das Omega. Der einzige Ableitungswert, der keinen griechischen Buchstaben als Namen trägt, ist das Vega, das aber häufig auch als Lambda oder Sigma bezeichnet wird (beide Bezeichnungen sind als Alternativen zu “Vega” gebräuchlich).
Weiterführende Links
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