Wie berechnet man den Value-at-Risk?

Der Value-at-Risk (VaR) ist ein weit verbreitetes Risikomaß im gesamten Bereich der Finanzwirtschaft. Er gilt quasi als Standardmaß für ganz unterschiedliche Risiken. Auch Unternehmen setzen den VaR ein, um bestimmte Risiken messbar zu machen – dabei werden allerdings nur finanzwirtschaftliche Risiken im Unternehmen mit dem VaR beziffert.

Was gibt der Value-at-Risk genau an?

Die Aussage des Value-at-Risk ist genau genommen dreigeteilt: Es geht um eine bestimmte Verlusthöhe, eine Wahrscheinlichkeit, dass dieser Verlustbetrag nicht überschritten wird und eine bestimmte, jeweils betrachtete Zeitperiode.

Anhand eines praktischen Beispiels kann man das besser erläutern:

Ein Portfolio von Wertpapieren hat im Lauf des nächsten Jahres (=Zeitperiode) mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit (=Wahrscheinlichkeit oder das sogenannte “Konfidenzniveau”) keine höheren Verluste als 11.500 EUR.

Was bedeutet diese Aussage im Detail? Die Angabe bezieht sich ausschließlich auf den betrachteten Zeitraum, nämlich die nächsten 12 Monate. In dieser Zeit können Verluste von mehr als 11.500 Euro beim Portfolio auftreten, die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt allerdings nur 5 %. Man kann also mit 95 %iger Sicherheit davon ausgehen, dass die maximalen Verluste höchstens 11.500 EUR betragen werden.

Beim VaR wird lediglich das wahrscheinlich maximalste Verlustrisiko betrachtet – wahrscheinlich mögliche Gewinnrisiken können mit diesen Modellen nicht berechnet werden und werden auch völlig außer Acht gelassen. Es geht allein um das Risiko.

Anwendungen des VaR

Der VaR kann sowohl zur Risikoangabe eines Aktienportfolios, als auch eines Kreditportfolios verwendet werden. Auch das Risiko eines Zinsportfolios kann mit dem VaR beziffert werden. Die betriebswirtschaftliche oder finanzmathematische Aussagekraft bleibt immer die gleiche – die Berechnung des VaR erfolgt aber immer auf unterschiedliche Weise, je nachdem, welchen Risikobereich man betrachtet.

Für die Berechnung ist notwendig, dass man das gegebene Risiko mathematisch (stochastisch) jeweils über eine entsprechende Verteilungsfunktion der Werte genau abbildet – und da sich das Risiko in unterschiedlichen Bereichen (zum Beispiel Kredit gegenüber einem Aktienportfolio) aus unterschiedlichen Parametern zusammensetzt und sich die Werte jeweils unterschiedlich verteilen, muss man für jedes betrachtete Risiko ein mathematisches Modell zur Berechnung verwenden, das die jeweiligen Risikoparameter, Wahrscheinlichkeiten und Zusammenhänge möglichst genau abbildet.

Grundlegend funktioniert die Berechnung immer so:

VaR (x) = Fx-1(?)

der Value-at-Risk berechnet sich also aus der jeweils abbildenden Verteilungs-Funktionsgleichung für das Konfidenzniveau ? für den betrachteten Risikowert x. Es handelt sich also um die inverse Verteilungsfunktion

(Wie diese Verteilungs-Funktionsgleichung aussehen kann, hängt immer von der jeweils betrachteten stochastischen Werteverteilung ab, wie schon erwähnt).

Mathematisch würde das auch bedeuten:

VaR ?(x) = inf{x|Fx(x) >= ?}

Schlussfolgerungen aus der Berechnung

Die Schlussfolgerungen daraus liegen dann auch auf der Hand: Je länger die Haltedauer und je höher das Konfidenzniveau, desto höher auch der VaR, wenn sich sonst keine anderen Werte ändern (also ceteris paribus, korrekt gesprochen).

Marktpreisrisiken beziffern

Ein sogenanntes Marktpreisrisiko wäre beispielsweise das Risiko von Verlusten durch Veränderungen der Aktienkurse (aber auch Wechselkurse oder Zinsen). Wie wir oben bereits gesehen haben, müssen die sogenannten “Treiber”, also alle relevanten Faktoren eingebracht werden. In diesem Fall sind die Treiber des Risikos beispielsweise die Kurse der Aktien eines Portfolios. Berücksichtigen muss man in der mathematischen Gleichung für die Verteilungsfunktion auch die Volatilität (und die Änderungen der Volatilität, wenn man genau sein will) innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Die Korrelationen – also die Zusammenhänge – zwischen verschiedenen Risikofaktoren müssen ebenfalls mathematisch in die Gleichung eingebracht werden.

Folgende Modelle haben sich für Marktpreisrisiken etabliert:

• der Varianz-Covarianz-Ansatz (der klassische Weg, den VaR zu berechnen, auch als Delta-Normal-Ansatz bezeichnet), mit dem man aber Risiken einiger Finanzinstrumente, wie beispielsweise Optionenrisiken nicht berechnen kann
• der Delta-Gamma-Ansatz, der sich auch für Optionsrisikenberechnungen eignet
• die Monte-Carlo-Simulation, die allerdings einen hohen Rechenaufwand erfordert

Alternativ dazu kann man den VaR auch allein aus historischen Daten ermitteln, in dem man die Verteilung einfach aus vergangenen Werten direkt ableitet und auf die Zukunft projiziert. Das kann Vorteile haben, weil dabei mit “echten” Werten anstatt mit einem mathematischen Modell gearbeitet wird und der Rechenaufwand fast völlig entfällt – nachteilig kann dabei sein, dass möglicherweise bei kurzen Haltedauern zu wenige Wertänderungen in den zukünftigen Zeitraum projiziert werden.

Ein praktisches Berechnungsbeispiel für den VaR (bei einem Marktpreisrisiko) mithilfe eines einfachen Näherungsmodells:

Wir nehmen folgende Werte an:

…eine Risikoposition von 100.000 Euro (RP)
…eine Tagesvolatilität ? von 5,8 %
…eine Haltedauer T von 5 Tagen
…eine Wahrscheinlichkeit ? von 5 % (die Wahrscheinlichkeit, mit der der maximale Verlust überschritten werden wird)

Unseren VaR berechnen wir damit folgendermaßen:

VaR = RP * ? * ?T * Qsnv(1-?)

Qsnv ist das “Quantil Standard-Normalverteilung” – also der Viertelwert in der Verteilungsfunktion.

Bei gegebenen Werten kommen wir damit zu einem VaR von 21.327,84 EUR, die bei einer Haltedauer von 5 Tagen mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit nicht überschritten werden.

Verlängern wir die Haltedauer, steigt das Risiko allerdings entsprechend, wie schon erwähnt und aus der Berechnung auch ersichtlich.

Weiterführende Links

• Vergleichsrechner für Depotanbieter
• Was ist das Aktienkursrisiko?
• Berechnung des finanziellen Bedarfs im Alter
• Was ist Value Investing?
• Valuefonds